Autoevaluacion

Ejercicios

• El siguiente diagrama de barras indica el color de pelo de los alumnos. Completa la tabla con las frecuencias absolutas correspondientes a cada color (rubio, pelirrojo, negro) y responde las preguntas

1. ¿Que tipo de pelo predomina en la clase?

R/// El tipo de pelo que predomina es el negro

2. ¿Cuantos estudiantes son pelirrojos?

R/// 4 estudiantes

3. ¿Cuantos estudiantes hay en total?

R///24 estudiantes

• El siguiente polígono de frecuencia muestra la media de temperatura diaria en una ciudad a lo largo de los 7 días de la semana. Completa la tabla y responde las preguntas.

1. ¿Que día hizo menos frió?

R/// El día 6

2. ¿La mayoría de los días, la temperatura fue bajo cero o sobre cero?

R///Bajo cero

3. ¿ cual fue la temperatura los dos primeros días?

R/// la temperatura fue de -4c°

• El siguiente diagrama de barras muestra las notas de los alumnos de la clase de estadística. Completa la tabla y responde las preguntas.

1.¿Que nota es la mas común?

R///La nota mas común es bien

2.¿Cuantos estudiantes han suspendido o perdido la asignatura?

R///3 los cuales son los de insuficiente

3.¿Cuantos estudiantes han aprobado la asignatura?

R///27 estudiantes

4.¿Cuantos estudiantes hay en la clase?

R///30 estudiantes

• Los siguientes valores indican el numero de comidas al día que hace un grupo de 15 amigos

3    4    2    3    4    3    4    5    4    5    3    4    5    3    4

Completa la tabla y responde las preguntas

 

1. ¿ Cuantos de ellos come solo 2 veces al día?

R///1

2.¿Cuantas veces al día come la mayoría de las personas encuestadas?

R///La mayoría de las personas comen 4 veces al día.

Poligonos de fecuencia

Un polígono de frecuencia se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

 EJEMPLOS: Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones.

Ejercicio

• Un estudio hecho en conjunto de 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo a dado el siguiente resultado

Grafico

Un gráfico estadístico es un resumen visual de la tabla de frecuencias. Los gráficos estadísticos para las variables cualitativas son de 2 clases: diagrama de barras y diagrama circular.

Un diagrama de barras es la representación gráfica en ejes cartesianos de la información dada en una tabla de frecuencias. En el diagrama de barras se ubica sobre el eje X la clase de barra cualitativa que se estudia. Edad, peso, estatura, color, genero, entre otros y sus correspondientes valores. Sobre el eje Y se registran las frecuencias o porcentajes generados.

En cada una de las alternativas del eje X se dibujan barras de altura a la frecuencia que señala la tabla de frecuencias para cada dato. Las barras deben construirse separados.

Un diagrama circular es la representación gráfica en sectores circulares de la información dada en una tabla de frecuencias.

En este tipo de gráfico se distribuye la información en sectores proporcionales dentro de una circunferencia. También son llamadas diagramas de pastel, ya que en algunos casos la información se gráfica en una especie de cilindro parecido a un pastel.

Para elaborar este tipo de gráficos se debe dividir 360° en partes proporcionales a los valores de las frecuencias dadas.

Tablas de frecuencias

Para registrar ordenadamente la información de una encuesta se utiliza una tabla de frecuencia.

Se pueden elaborar tablas de frecuencias de acuerdo con el numero de datos que se van a estudiar y el tipo de variables que se deben tener en cuenta.

Una tabla de frecuencias es un resumen de los datos en el cual dada opción de respuesta de la variable se relaciona con el numero de datos correspondientes.

EJEMPLO: Se realiza una encuesta para determinar los sitios mas visitados por los turistas en épocas de vacaciones, entre los cuales se encuentran:

Santa Marta     (S)
Manizales        (M)
Cartagena        (C)
Bucaramanga  (B)
Popayan          (P)

Los resultados que se obtuvieron son los siguientes

P    C    M   P

C    S    S    M

B    P    B    C

S    M   C    S

C    S    M   C

• El restaurante el buen sabor quiere conocer la opinión de sus clientes acerca de la calidad del servicio que ofrecen. Para esto el administrador desarrollo la siguiente escala de valoración

Excelente  (E)

Bueno       (B)

Regular     (R)

Malo         (M)

E    E    E    B    B    B    R    R    B    M

B    B    B   B    R    B    E    M    M    E

R    R    B   E    E    E     B    B     B    R

E    R    R   B    B    B    R    R     B    M

E    E    B   M    M   B    B    E     B    R

Ley de la probabilidad de una variable discreta

Dada una variable aleatoria x que puede tomar una serie de valores discretos x1, x2,...xn. A los que corresponde unas probabilidades P1, P2,...Pn, se denomina ley de probabilidad de la variable discreta a la correspondencia (Xi, Pi) que asocia cada valor de la variable su probabilidad correspondiente. Los valores de las probabilidades deben ser números enteros y positivos comprendidos entre 0 y 1 y de suma igual a la unidad P1+P2+...+Pn=1       o<Pi<1.

Se puede obtener fácilmente la representación gráfica de los pares de la correspondencia Xi->P1 antes definida en un diagrama cartesiano, situando en el eje de las abscisas los valores de Xi, de la variable y en el eje de ordenadas las probabilidades Pi correspondientes.

Notese que los gráficos así obtenidos son muy similares a los diagramas de frecuencia en los que a cada valor de la distribución de datos se le hacia corresponder a la frecuencia correspondiente. Dicha similitud no puede extrañar ya que anteriormente se ha definido la probabilidad de un suceso como el imite de la frecuencia del suceso cuando el numero de observaciones crecía indefinidamente. Por este motivo, los diagramas de probabilidades se consideran como los limites de los diagramas de frecuencia
.
A continuación se exponen 2 ejemplos de distribución de probabilidad de una variable discreta.

EJEMPLO: Sea el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire los 2 posibles resultados del experimento son cara y cruz.

Por no tratarse de valores numéricos, se debe hacer corresponder a cada posible resultado un valor numérico cualquiera

Con la correspondencia antes definida se han obtenido los valores de la variable aleatoria que son 1 y 2. Se trata de una variable aleatoria X discreta ya que solo adopta 2 valores distintos X1=1; X2=2.

Las probabilidades que corresponden a cada valor de la variable aleatoria sera, si se supone una moneda de fabricación perfecta P1=0.5, ya que: 

Con: 

           P1 + P2= 1           o < P1, P2 < 1

La ley de probabilidad de la variable aleatoria discreta estará formada por todos los pares de forma (X1*P1) En esta experimento dichos pares serán:

(X1, P1) = (1, 0.5)

(X2, P2) = (2, 0.5)

Una representación gráfica de esta ley de probabilidad en el plano cartesiano.

NOTA: En el caso de que uno de los valores de la variable sea 0 se desplaza el origen de coordenadas con el fin de hacer mas clara la representación.

Variacion

Una variación de m objetos distintos tomados dos de n en n es una ordenación de N objetos de entre los m en la que se tiene en cuenta la situación de cada objeto de la ordenación.

Números de variaciones de M objetos distintos formados de n en n se representa mediante la formula

La expresion m! factorial se calcula así

Por lo tanto, el factorial de m es un producto de m factores consecutivos desde m hasta 1

                                                  4!= 4 x 3 x 2 x 1 =24

                                                  5!= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720

EJEMPLO= Calcular el numero de variaciones que se pueden efectuar con las 8 primeras letras del abecedario, agrupar de 2 en 2

Permutaciones

Las permutaciones de un objeto M son todas las posibles ordenaciones que se pueden hacer con los objetos M tomados de m en m.


EJEMPLO: Calcular el numero de permutaciones que se pueden hacer con las 5 primeras letras del abecedario

P5= 5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1= P = 120
                                               = 50

Combinaciones

Una combinación de m objetos distintos tomados de N de N es una ordenación de N objetos entre los M, en la que es indiferente la situación de cada objeto en la ordenación.

El numero de combinaciones de M objetos tomados de N en N se puede representar mediante la siguiente formula

Teorema del calculo de probabilidad

* Teorema de la probabilidad suma o total:

     Cuando un suceso ( S ) cualquiera puede producirse, ya sea por la realización del suceso S1 o de la      realización del suceso S2 la probabilidad de calcular mediante la suma de las probabilidades que        tengan lugar S1 y S2 menos la probabilidad de que S1 y S2 se realicen a la vez.
     
                                          P(s) = P (S1) + P (S2) - P (S1,2)

   EJEMPLO: En un dado que caiga

                    P(par)= 3/6                                     P(impar)= 3/6
                              = 0.5                                                   = 0.5


      EJEMPLO: Se da experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. La probabilidad del suceso de que salga un numero múltiplo de 2 o que salga un numero múltiplo de 3. Dicho ejemplo puede calcularse mediante la aplicación del teorema de la suma de probabilidad.

PS1(2) = (2,4,6)
PS2(3) = (3,6)

P(S)= 3/6 + 2/6 - 1/6
       = 4/6

Probabilidad

Se define como probabilidad de un suceso, A al cociente entre el numero de sucesos elementales igualmente posibles.

La palabra probabilidad interviene de algún modo en la definición.

EJEMPLO: Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire una moneda de construcción perfecta, es decir, en la que los 2 sucesos elementales que caiga cara o sello sean igualmente posibles.

Si se designa mediante la letra A al suceso que caiga cara se tiene:

                                                                  P (A) : 1/2 = 0.5      

EJERCICIO

21    32   37   20   47   23   31   35   24   28

16    38   22   45   40   28   46   40   15   34

26    42   45   34   44   18   43   36   23   40

29    28   46   21   25   47   49   17   31   20

18    44   30   48   50   22   49   32   48   25

33    38   31   49   48   35   16   34   49   50

25    47   48   18   33   42   47   43   18   22

34    16   40   23   37   45   49   23   39   35

32    36   43   22   37   17   35   38   21   29

15    23   30   35   26   27   42   38   33   31


[ 15 - 20 ]            13
[ 20 - 25 ]            16
[ 25 - 30 ]            10 
[ 30 - 35 ]            19
[ 35 - 40 ]            14
[ 40 - 45 ]            11
[ 45 - 50 ]            17
                           ---------
                              100

C1= L1 + h1/n1 [ N/4 -  f1 ]

C1= 20 + 5/16 [ 100/4 - 13 ]

C1= 20 + 0.31 [ 12 ]

C1= 20 + 3.72

C1= 23.72

_____________________________________

C2= L2 +  h2/n2 [ 2N/4 -  f2 ]

C2= 30 + 5/19 [ 50 - 39 ]

C2= 30 + 0.26 [ 11 ]

C2= 30 + 2.86

C2= 32.86

_____________________________________

C3= L3 +  h3/n3 [ 3N/4 -  f3 ]

C3= 40 + 5/11 [ 75 - 72 ]

C3= 40 + 0.45 [ 3 ]

C3= 40 + 1.35

C3= 41.35

_____________________________________

         

          D.I=  C3 - C1

          D.I=  41.35 - 23.72

          D.I=  17.63

Desviacion intercuartilica

Se define la desviación intercuartilica como la diferencia entre el mayor cuartil, es decir el cuartil 3 y el menor cuartil, el cuartil 1 de una distribución. Así, en el siguiente ejemplo la desviación intercuartilica seria la siguiente:

                                                           D.I= C3 - C1

Se comprende que cuanto sea mayor la desviación intercuartilica, mas dispersos están los valores de la distribución.

Calculo del cuartil

El calculo del cuartil C1, C2, C3 es similar al de la mediana.

Hallar el primer cuartil significa hallar que valor de la variable deja un 25% de los datos de la distribución.

Podemos emplear para el calculo del primer cuartil la siguiente formula:

C1: Abscisa (eje de las x) de la curva correspondiente al primer cuartil.

l: Limite inferior del intervalo del primer cuartil.

h: Amplitud del intervalo ( diferencia entre los valores extremos del mismo )

n1: Numero de efectivos del intervalo del primer cuartil.

N: Numero total de datos.

F1: efectivos acumulados anteriores al intervalo del primer cuartil.

EJEMPLO: Calcule el cuartil para la siguiente distribucion

[ 20 - 30 ]                 15

[ 30 - 40 ]                 18

[ 40 - 50 ]                 22

[ 50 - 60 ]                 30

[ 60 - 70 ]                 15

                    ---------

                      N=100

C1= 30 + 40 - 30/18 [100/4 - 15 ]

C1= 30 + 10/18 [ 25 - 15 ]

C1= 30 + 0,56 [ 10 ]

C1= 30 + 0,56

C1= 35.6

Cuartil, decil y centil

Otros indices de dispersión utilizados en estadística son los parámetros que dividen una distribución de datos en partes que contiene el mismo numero de observaciones. Para obtener el cuartil se divide la curva de la representación de la distribución en 4 partes, tales cada una contiene 1/4 del total de observaciones. Las lineas limite de estas 4 partes se denominan primer cuartil, segundo cuartil y tercer cuartil.

Se denomina decil a las lineas limite que separan una distribución en 10 partes iguales con el mismo numero de observaciones cada una.

Se denomina centil a las lineas limite que separan una distribución en 100 partes iguales con el mismo numero de observaciones.